有界な数列 $\{a_n\}$ は収束する部分列を持つ。その一つの極限値を $\alpha$ とする。もし元の数列 $\{a_n\}$ が発散数列なら、$\{a_n\}$ の収束部分列で、$\{a_n\}$ の極限値 $\alpha$ と異なる極限値を持つものが存在するかどうかを考える。 (1) 上記の例と異なる有界数列と、その収束部分列（異なる極限値を持つもの）の具体例を挙げよ。 (2) 上記(1)の例が成立することを示せ。

1. 問題の内容

有界な数列 $\{a_n\}$ は収束する部分列を持つ。その一つの極限値を $\alpha$ とする。もし元の数列 $\{a_n\}$ が発散数列なら、$\{a_n\}$ の収束部分列で、$\{a_n\}$ の極限値 $\alpha$ と異なる極限値を持つものが存在するかどうかを考える。

(1) 上記の例と異なる有界数列と、その収束部分列（異なる極限値を持つもの）の具体例を挙げよ。

(2) 上記(1)の例が成立することを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 具体例を挙げる。例えば、数列 $\{a_n\} = \{(-1)^n\}$ を考える。この数列は $1, -1, 1, -1, ...$ と振動し、発散する。しかし、部分列 $\{a_{2n}\} = \{1, 1, 1, ...\}$ は1に収束し、部分列 $\{a_{2n-1}\} = \{-1, -1, -1, ...\}$ は-1に収束する。つまり、数列 $\{(-1)^n\}$ は極限値1と-1を持つ収束部分列を持つ。$\alpha = 1$とすれば、極限値-1をもつ部分列を持つ例となる。

(2) 一般に、数列 $\{a_n\}$ が有界な発散数列であると仮定する。ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より、有界な数列 $\{a_n\}$ は少なくとも1つの収束部分列を持つ。この収束部分列の極限値を$\alpha$とする。元の数列 $\{a_n\}$ は発散するので、$\{a_n\}$ は$\alpha$に収束しない。したがって、ある$\epsilon > 0$が存在して、任意の自然数$N$に対して、$n > N$かつ$|a_n - \alpha| \geq \epsilon$となる$n$が存在する。

この$\epsilon$を用いて、数列 $\{a_n\}$ から部分列 $\{a_{n_k}\}$ を構成する。まず、$n_1$を、$|a_{n_1} - \alpha| \geq \epsilon$を満たす任意の自然数とする。次に、$n_2 > n_1$を、$|a_{n_2} - \alpha| \geq \epsilon$を満たす自然数とする。一般に、$n_{k+1} > n_k$を、$|a_{n_{k+1}} - \alpha| \geq \epsilon$を満たす自然数とする。このようにして構成された部分列 $\{a_{n_k}\}$ は、$|a_{n_k} - \alpha| \geq \epsilon$をすべての$k$について満たす。

部分列$\{a_{n_k}\}$は有界なので、さらに収束する部分列$\{a_{n_{k_j}}\}$を持つ（再びボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理）。この収束部分列の極限値を$\beta$とすると、$|\beta - \alpha| \geq \epsilon$である。なぜなら、$|a_{n_{k_j}} - \alpha| \geq \epsilon$がすべての$j$について成り立つからである。したがって、$\beta \neq \alpha$であり、$\{a_n\}$は$\alpha$とは異なる極限値を持つ収束部分列を持つ。

3. 最終的な答え

(1) 具体例：数列 $\{a_n\} = \{(-1)^n\}$

(2) 上記の証明を参照。