次の4つの式を展開せよ。 (1) $(a-b-c)(a+b-c)$ (2) $(x+2)^2(x-2)^2$ (3) $(p+1)(p^2+1)(p-1)$ (4) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$

1. 問題の内容

次の4つの式を展開せよ。

(1) $(a-b-c)(a+b-c)$

(2) $(x+2)^2(x-2)^2$

(3) $(p+1)(p^2+1)(p-1)$

(4) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$

2. 解き方の手順

(1) $(a-b-c)(a+b-c)$ を展開する。

$a-c = A$ と置くと、$A-b$と$A+b$になるので、

$(A-b)(A+b) = A^2 - b^2$

ここで、$A = a-c$ なので、

$(a-c)^2 - b^2 = a^2 - 2ac + c^2 - b^2 = a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$

(2) $(x+2)^2(x-2)^2$ を展開する。

$((x+2)(x-2))^2$

$(x^2 - 4)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(4) + 4^2 = x^4 - 8x^2 + 16$

(3) $(p+1)(p^2+1)(p-1)$ を展開する。

$(p+1)(p-1)(p^2+1) = (p^2-1)(p^2+1) = (p^2)^2 - 1^2 = p^4 - 1$

(4) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$ を展開する。

$(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)$

$(x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15)$

$x^2 + 8x = A$ と置くと、

$(A+7)(A+15) = A^2 + 22A + 105$

$(x^2+8x)^2 + 22(x^2+8x) + 105 = x^4 + 16x^3 + 64x^2 + 22x^2 + 176x + 105 = x^4 + 16x^3 + 86x^2 + 176x + 105$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$

(2) $x^4 - 8x^2 + 16$

(3) $p^4 - 1$

(4) $x^4 + 16x^3 + 86x^2 + 176x + 105$