次の式を展開して、$a$ について整理せよという問題です。 (1) $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 - 3abc$ (2) $(a+2b-3c)^2 + (a+2b)(b-3c)$

1. 問題の内容

次の式を展開して、$a$ について整理せよという問題です。

(1) $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 - 3abc$

(2) $(a+2b-3c)^2 + (a+2b)(b-3c)$

2. 解き方の手順

(1) 式を展開します。

$a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) - 3abc$

$= ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + a^2b - 3abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2b + abc$

$a$ について整理します。

$= (b^2 + c^2 + ab + bc)a$

$= (b^2 + c^2 + ab + bc)a$

$= (b(b+a) + c(c+b)) a$

$= (ab + b^2 + c^2 + bc) a$

$= (b^2 + ab + bc + c^2) a$

$= [b(b+a) + c(b+c)] a$

$= (b^2 + c^2 + ab + bc)a$

$= (b^2 + ab + c^2 + bc) a$

$= (b^2 + c^2 + ab + bc)a$

(2) 式を展開します。

$(a+2b-3c)^2 + (a+2b)(b-3c)$

$= (a+2b-3c)(a+2b-3c) + ab - 3ac + 2b^2 - 6bc$

$= a^2 + 2ab - 3ac + 2ab + 4b^2 - 6bc - 3ac - 6bc + 9c^2 + ab - 3ac + 2b^2 - 6bc$

$= a^2 + 5ab - 9ac + 6b^2 - 18bc + 9c^2$

$a$ について整理します。

$= a^2 + (5b - 9c)a + 6b^2 - 18bc + 9c^2$

$= a^2 + (5b - 9c)a + (3b - 3c)(2b - 3c)$

$= a^2 + (5b - 9c)a + 6b^2 -15bc + 9c^2$

3. 最終的な答え

(1) $(b^2 + c^2 + ab + bc)a$

(2) $a^2 + (5b - 9c)a + 6b^2 - 18bc + 9c^2$

または、

$a^2 + (5b - 9c)a + 6b^2 - 18bc + 9c^2$

または

$a^2 + (5b-9c)a + 3(2b^2 - 6bc + 3c^2)$

$= a^2 + a(5b-9c) + 6b^2 - 18bc + 9c^2$

$= a^2 + a(5b - 9c) + 6b^2 - 18bc + 9c^2$

$= a^2 + (5b - 9c)a + 6b^2 - 18bc + 9c^2$

$a^2 + a(5b-9c) + 3(2b^2 - 6bc + 3c^2)$

$a^2 + (5b-9c)a + (3b-3c)(2b-3c)$

$a^{2} + (5b - 9c)a + 6b^{2} - 18bc + 9c^{2}$

最終的な答えは、$a^2 + (5b - 9c)a + 6b^2 - 18bc + 9c^2$