(1) 2次不等式 $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a \le 0$ を満たす $x$ の値の範囲を定数 $a$ を用いて表す。 (2) 2次不等式 $x^2 - 2x - 3 \le 0$ を考える。 (ア) $x^2 - 2x - 3 \le 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。 (イ) (1)の不等式と(2)の不等式を同時に満たす $x$ が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次不等式 $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a \le 0$ を満たす $x$ の値の範囲を定数 $a$ を用いて表す。

(2) 2次不等式 $x^2 - 2x - 3 \le 0$ を考える。

(ア) $x^2 - 2x - 3 \le 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

(イ) (1)の不等式と(2)の不等式を同時に満たす $x$ が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた不等式を因数分解する。

$x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a \le 0$

$x^2 - 2(a+1)x + (a^2 + 2a) \le 0$

$x^2 - 2(a+1)x + a(a+2) \le 0$

$(x-a)(x-(a+2)) \le 0$

したがって、$a \le x \le a+2$

(2) (ア)

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

$(x-3)(x+1) \le 0$

$-1 \le x \le 3$

(2) (イ)

(1)と(2)(ア)の結果から、$a \le x \le a+2$ と $-1 \le x \le 3$ を同時に満たす $x$ が存在するための $a$ の条件を求める。

数直線で考えると、$a \le x \le a+2$ と $-1 \le x \le 3$ が共通部分を持つ条件は、

$a \le 3$ かつ $a+2 \ge -1$ が成り立つことである。

$a \le 3$ かつ $a \ge -3$

したがって、$-3 \le a \le 3$

3. 最終的な答え

(1) $a \le x \le a+2$

(2) (ア) $-1 \le x \le 3$

(2) (イ) $-3 \le a \le 3$