与えられた式 $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$ を展開して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$ を展開して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、式を次のようにグループ化します:

$[(x+z) + y][(x+z) - y][(x-z) + y][(x-z) - y]$

ここで、$A = x+z$、$B = x-z$ とおくと、式は次のようになります:

$[A+y][A-y][B+y][B-y]$

これは $(A^2 - y^2)(B^2 - y^2)$ と書き換えられます。

$A$ と $B$ を元に戻すと、式は $((x+z)^2 - y^2)((x-z)^2 - y^2)$ となります。

$(x+z)^2 = x^2 + 2xz + z^2$

$(x-z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$

よって、式は $(x^2 + 2xz + z^2 - y^2)(x^2 - 2xz + z^2 - y^2)$ となります。

これをさらに $(x^2+z^2-y^2 + 2xz)(x^2+z^2-y^2 - 2xz)$ と書き換えます。

ここで、$C = x^2+z^2-y^2$ とおくと、式は $(C+2xz)(C-2xz)$ となり、$C^2 - (2xz)^2$ となります。

$C$ を元に戻すと、式は $(x^2+z^2-y^2)^2 - (2xz)^2$ となります。

$(x^2+z^2-y^2)^2 = (x^2+z^2)^2 - 2y^2(x^2+z^2) + y^4 = x^4 + 2x^2z^2 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 + y^4$

$(2xz)^2 = 4x^2z^2$

したがって、式は

$x^4 + 2x^2z^2 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 + y^4 - 4x^2z^2 = x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 - 2z^2x^2$ となります。

3. 最終的な答え

$x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 - 2z^2x^2$