与えられた3つの式を因数分解する問題です。今回は、3番目の式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。今回は、3番目の式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、式を整理し、次数が一番低い文字についてまとめます。今回はどの文字についても次数が同じなので、aについて整理します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = (b+c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + (b^2c + bc^2)$

さらに、定数項を因数分解します。

$b^2c + bc^2 = bc(b+c)$

したがって、

$(b+c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + (b^2c + bc^2) = (b+c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + bc(b+c)$

$(b+c)$で括り出します。

$(b+c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + bc(b+c) = (b+c)(a^2 + (b+c)a + 2ac + bc)$

$= (b+c)[a^2+(b+c)a+bc]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$=(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$