与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

この式を$a$について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + (b^2c + c^2b)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$(b+c)$ を共通因数としてくくり出します。

$= (b+c) [a^2 + a(b+c) + bc]$

$= (b+c) (a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c) [a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$