(i) 実数 $a, b \in \mathbb{R}$ に対して、次の三角不等式が成り立つことを示す： $||a| - |b|| \le |a - b| \le |a| + |b|$. (ii) 区間 $I$ 上で定義された関数 $f(x)$ が $x = x_0 \in I$ で連続であるとき、$|f(x)|$ も $x = x_0$ で連続であることを示す。

1. 問題の内容

(i) 実数 $a, b \in \mathbb{R}$ に対して、次の三角不等式が成り立つことを示す：

$||a| - |b|| \le |a - b| \le |a| + |b|$.

(ii) 区間 $I$ 上で定義された関数 $f(x)$ が $x = x_0 \in I$ で連続であるとき、$|f(x)|$ も $x = x_0$ で連続であることを示す。

2. 解き方の手順

(i) 三角不等式 $||a| - |b|| \le |a - b| \le |a| + |b|$ の証明

まず、$|a-b| \le |a|+|b|$ を示す。

$|a| = |a-b+b| \le |a-b| + |b|$

したがって $|a| - |b| \le |a-b|$

同様に、$|b| = |b-a+a| \le |b-a| + |a|$

したがって $|b| - |a| \le |b-a| = |a-b|$

よって、$-|a-b| \le |a| - |b|$.

以上より、 $-|a-b| \le |a| - |b| \le |a-b|$。

したがって、

$||a|-|b|| \le |a-b|$.

次に、$|a-b| \le |a| + |b|$ を示す。

$|a-b| \le |a| + |-b| = |a| + |b|$.

したがって、$||a| - |b|| \le |a - b| \le |a| + |b|$ が示された。

(ii) $|f(x)|$ が $x=x_0$ で連続であることの証明

$f(x)$ が $x = x_0$ で連続であるとは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$|x - x_0| < \delta$ ならば $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ が成り立つことである。

$||f(x)| - |f(x_0)| | \le |f(x) - f(x_0)|$ が成り立つ。

$|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ ならば $||f(x)| - |f(x_0)| | < \epsilon$ となる。

したがって、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$|x - x_0| < \delta$ ならば $||f(x)| - |f(x_0)| | < \epsilon$ が成り立つ。

これは、$|f(x)|$ が $x = x_0$ で連続であることを意味する。

3. 最終的な答え

(i) $||a| - |b|| \le |a - b| \le |a| + |b|$

(ii) $f(x)$ が $x = x_0$ で連続ならば、$|f(x)|$ も $x = x_0$ で連続である。