実数 $a < b$ が与えられ、有界閉区間 $[a, b]$ 上で定義された連続関数 $f$ が $a \le f(x) \le b$ （すべての $x \in [a, b]$ に対して）を満たすとする。このとき、$f(c) = c$ を満たす $c \in [a, b]$ が存在することを示す。これは不動点定理の簡単な例です。

1. 問題の内容

実数 $a < b$ が与えられ、有界閉区間 $[a, b]$ 上で定義された連続関数 $f$ が $a \le f(x) \le b$ （すべての $x \in [a, b]$ に対して）を満たすとする。このとき、$f(c) = c$ を満たす $c \in [a, b]$ が存在することを示す。これは不動点定理の簡単な例です。

2. 解き方の手順

以下のように補助関数 $g(x)$ を定義します。

$g(x) = f(x) - x$

ここで、$x \in [a, b]$ であることを考慮します。

$f(x)$ は連続であり、$x$ も連続であるため、$g(x)$ は連続です。

ここで、区間 $[a, b]$ の両端における $g(x)$ の値を調べます。

$x = a$ のとき、$a \le f(a) \le b$ であることから、$g(a) = f(a) - a \ge 0$ が成り立ちます。

$x = b$ のとき、$a \le f(b) \le b$ であることから、$g(b) = f(b) - b \le 0$ が成り立ちます。

もし $g(a) = 0$ または $g(b) = 0$ ならば、$f(a) = a$ または $f(b) = b$ であるため、$c = a$ または $c = b$ が $f(c) = c$ を満たす不動点となります。

$g(a) > 0$ かつ $g(b) < 0$ の場合を考えます。 $g(x)$ は連続関数なので、中間値の定理より、$g(a)$ と $g(b)$ の間の任意の値を取る $c \in (a, b)$ が存在します。特に、$g(c) = 0$ となる $c \in (a, b)$ が存在します。

$g(c) = 0$ は $f(c) - c = 0$ を意味するので、$f(c) = c$ が成り立ちます。

したがって、$c \in [a, b]$ が存在し、$f(c) = c$ を満たすことが示されました。

3. 最終的な答え

$f(c) = c$ を満たす $c \in [a, b]$ が存在する。