次の5つの関数の導関数を求めます。 (1) $(x^2 + 5)^{12}$ (2) $\cos \sqrt{x^2 + 1}$ (3) $5^{3x+2}$ (4) $\log \frac{x+1}{x-1}$ (5) $\log (\log (\log x))$

1. 問題の内容

次の5つの関数の導関数を求めます。

(1) $(x^2 + 5)^{12}$

(2) $\cos \sqrt{x^2 + 1}$

(3) $5^{3x+2}$

(4) $\log \frac{x+1}{x-1}$

(5) $\log (\log (\log x))$

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + 5)^{12}$の導関数を求めます。

合成関数の微分公式を用います。$u = x^2 + 5$とすると、関数は$u^{12}$と表せます。

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{d}{du}(u^{12}) = 12u^{11}$

よって、

$\frac{d}{dx}(x^2 + 5)^{12} = 12(x^2+5)^{11} \cdot 2x = 24x(x^2+5)^{11}$

(2) $\cos \sqrt{x^2 + 1}$の導関数を求めます。

合成関数の微分公式を用います。$u = \sqrt{x^2+1}$とすると、関数は$\cos u$と表せます。

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{du}(\cos u) = -\sin u$

よって、

$\frac{d}{dx} \cos \sqrt{x^2+1} = -\sin \sqrt{x^2+1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = -\frac{x \sin \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$

(3) $5^{3x+2}$の導関数を求めます。

合成関数の微分公式を用います。$u = 3x + 2$とすると、関数は$5^u$と表せます。

$\frac{du}{dx} = 3$

$\frac{d}{du}(5^u) = 5^u \log 5$

よって、

$\frac{d}{dx} 5^{3x+2} = 5^{3x+2} \log 5 \cdot 3 = 3 \log 5 \cdot 5^{3x+2}$

(4) $\log \frac{x+1}{x-1}$の導関数を求めます。

対数の性質から$\log \frac{x+1}{x-1} = \log (x+1) - \log (x-1)$

$\frac{d}{dx} \log (x+1) = \frac{1}{x+1}$

$\frac{d}{dx} \log (x-1) = \frac{1}{x-1}$

よって、

$\frac{d}{dx} \log \frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{x-1 - (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{-2}{x^2-1} = \frac{2}{1-x^2}$

(5) $\log (\log (\log x))$の導関数を求めます。

合成関数の微分公式を繰り返し用います。

$\frac{d}{dx} \log(\log(\log x)) = \frac{1}{\log(\log x)} \cdot \frac{d}{dx} \log(\log x)$

$= \frac{1}{\log(\log x)} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx} \log x$

$= \frac{1}{\log(\log x)} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$

$= \frac{1}{x \log x \log(\log x)}$

3. 最終的な答え

(1) $24x(x^2+5)^{11}$

(2) $-\frac{x \sin \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$

(3) $3 \log 5 \cdot 5^{3x+2}$

(4) $\frac{2}{1-x^2}$

(5) $\frac{1}{x \log x \log(\log x)}$