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関数 $f(x) = e^{-\frac{t}{2}} \cdot \sin(2t)$ を積分する問題です。つまり、不定積分 $\int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$ を計算します。

解析学積分部分積分指数関数三角関数
2025/5/16

1. 問題の内容

関数 f(x)=e−t2⋅sin⁡(2t)f(x) = e^{-\frac{t}{2}} \cdot \sin(2t) を積分する問題です。つまり、不定積分 ∫e−t2sin⁡(2t)dt\int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。
ステップ1：
I=∫e−t2sin⁡(2t)dtI = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt とおきます。
u=sin⁡(2t)u = \sin(2t)、dv=e−t2dtdv = e^{-\frac{t}{2}} dt とすると、
du=2cos⁡(2t)dtdu = 2\cos(2t) dt、v=−2e−t2v = -2e^{-\frac{t}{2}} となります。
部分積分より、
I=∫udv=uv−∫vdu=−2e−t2sin⁡(2t)−∫(−2e−t2)(2cos⁡(2t))dtI = \int u dv = uv - \int v du = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \int (-2e^{-\frac{t}{2}}) (2\cos(2t)) dt
I=−2e−t2sin⁡(2t)+4∫e−t2cos⁡(2t)dtI = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) + 4 \int e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) dt
ステップ2：
J=∫e−t2cos⁡(2t)dtJ = \int e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) dt を計算します。
u=cos⁡(2t)u = \cos(2t)、dv=e−t2dtdv = e^{-\frac{t}{2}} dt とすると、
du=−2sin⁡(2t)dtdu = -2\sin(2t) dt、v=−2e−t2v = -2e^{-\frac{t}{2}} となります。
部分積分より、
J=∫udv=uv−∫vdu=−2e−t2cos⁡(2t)−∫(−2e−t2)(−2sin⁡(2t))dtJ = \int u dv = uv - \int v du = -2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - \int (-2e^{-\frac{t}{2}}) (-2\sin(2t)) dt
J=−2e−t2cos⁡(2t)−4∫e−t2sin⁡(2t)dt=−2e−t2cos⁡(2t)−4IJ = -2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 4 \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt = -2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 4I
ステップ3：
ステップ1の結果にステップ2の結果を代入します。
I=−2e−t2sin⁡(2t)+4J=−2e−t2sin⁡(2t)+4(−2e−t2cos⁡(2t)−4I)I = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) + 4J = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) + 4(-2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 4I)
I=−2e−t2sin⁡(2t)−8e−t2cos⁡(2t)−16II = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 16I
17I=−2e−t2sin⁡(2t)−8e−t2cos⁡(2t)17I = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t)
I=−217e−t2sin⁡(2t)−817e−t2cos⁡(2t)+CI = -\frac{2}{17}e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \frac{8}{17}e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) + C
I=−217e−t2(sin⁡(2t)+4cos⁡(2t))+CI = -\frac{2}{17}e^{-\frac{t}{2}} (\sin(2t) + 4\cos(2t)) + C

3. 最終的な答え

−217e−t2(sin⁡(2t)+4cos⁡(2t))+C-\frac{2}{17}e^{-\frac{t}{2}} (\sin(2t) + 4\cos(2t)) + C

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