与えられた初期値問題を解く問題です。微分方程式は $\frac{dy}{dt} = y + y^3$ であり、初期条件は $y(0) = 1$ です。

1. 問題の内容

与えられた初期値問題を解く問題です。微分方程式は $\frac{dy}{dt} = y + y^3$ であり、初期条件は $y(0) = 1$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を変数分離します。

$\frac{dy}{dt} = y + y^3 = y(1 + y^2)$

$\frac{dy}{y(1+y^2)} = dt$

次に、左辺を部分分数分解します。

$\frac{1}{y(1+y^2)} = \frac{A}{y} + \frac{By + C}{1+y^2}$

$1 = A(1+y^2) + (By+C)y$

$1 = A + Ay^2 + By^2 + Cy$

$1 = A + (A+B)y^2 + Cy$

したがって、$A = 1, C = 0, A+B = 0$ より、$A = 1, B = -1, C = 0$。

$\frac{1}{y(1+y^2)} = \frac{1}{y} - \frac{y}{1+y^2}$

よって、積分は次のようになります。

$\int \frac{dy}{y(1+y^2)} = \int \left(\frac{1}{y} - \frac{y}{1+y^2}\right) dy = \int dt$

$\int \frac{1}{y} dy - \int \frac{y}{1+y^2} dy = \int dt$

$\ln|y| - \frac{1}{2} \ln(1+y^2) = t + C_1$

$\ln|y| - \ln\sqrt{1+y^2} = t + C_1$

$\ln \left|\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\right| = t + C_1$

$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} = e^{t+C_1} = C e^t$ （ただし、$C = \pm e^{C_1}$）

$y = C e^t \sqrt{1+y^2}$

$y^2 = C^2 e^{2t} (1+y^2)$

$y^2 = C^2 e^{2t} + C^2 e^{2t} y^2$

$y^2(1-C^2 e^{2t}) = C^2 e^{2t}$

$y^2 = \frac{C^2 e^{2t}}{1 - C^2 e^{2t}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{C^2 e^{2t}}{1 - C^2 e^{2t}}}$

初期条件 $y(0) = 1$ を適用します。

$1 = \pm \sqrt{\frac{C^2}{1 - C^2}}$

$1 = \frac{C^2}{1 - C^2}$

$1 - C^2 = C^2$

$2C^2 = 1$

$C^2 = \frac{1}{2}$

$C = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$y = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}e^{2t}}{1 - \frac{1}{2}e^{2t}}} = \sqrt{\frac{e^{2t}}{2 - e^{2t}}}$

$y = \sqrt{\frac{e^{2t}}{2 - e^{2t}}}$

3. 最終的な答え

$y(t) = \sqrt{\frac{e^{2t}}{2-e^{2t}}}$