1から10までの番号が書かれた10枚のカードから1枚を引く。事象A, B, Cを以下のように定義する。 A: 取り出したカードが2の倍数 B: 取り出したカードが3の倍数 C: 取り出したカードが4の倍数 (1) AとBは互いに排反か？ (2) BとCは互いに排反か？ (3) 確率 $P(A \cup B)$ を求めよ。 (4) 確率 $P(B \cup C)$ を求めよ。

1. 問題の内容

1から10までの番号が書かれた10枚のカードから1枚を引く。事象A, B, Cを以下のように定義する。

A: 取り出したカードが2の倍数

B: 取り出したカードが3の倍数

C: 取り出したカードが4の倍数

(1) AとBは互いに排反か？

(2) BとCは互いに排反か？

(3) 確率 $P(A \cup B)$ を求めよ。

(4) 確率 $P(B \cup C)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AとBが互いに排反かどうかを判断する。AとBが同時に起こる場合があるかどうかを調べる。

2の倍数であり、かつ3の倍数である数は6の倍数である。1から10までの数の中に6の倍数は6のみが存在する。

したがって、AとBは互いに排反ではない。

(2) BとCが互いに排反かどうかを判断する。BとCが同時に起こる場合があるかどうかを調べる。

3の倍数であり、かつ4の倍数である数は12の倍数である。1から10までの数の中に12の倍数は存在しない。

したがって、BとCは互いに排反である。

(3) 確率 $P(A \cup B)$ を求める。

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

A: 2, 4, 6, 8, 10 (5個)

B: 3, 6, 9 (3個)

$A \cap B$: 6 (1個)

$P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$P(B) = \frac{3}{10}$

$P(A \cap B) = \frac{1}{10}$

$P(A \cup B) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$

(4) 確率 $P(B \cup C)$ を求める。

$P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C)$

C: 4, 8 (2個)

$B \cap C$: なし (0個)

$P(B) = \frac{3}{10}$

$P(C) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$P(B \cap C) = 0$

$P(B \cup C) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} - 0 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 排反でない

(2) 排反である

(3) $\frac{7}{10}$

(4) $\frac{1}{2}$