与えられた関数 $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開におけるベルヌーイ数 $B_n$ について、以下の問いに答えます。 (1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求めます。 (2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求めます。 (3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ ($m \geq 1$) を求めます。ここで、${}_mC_n$ は二項係数です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開におけるベルヌーイ数 $B_n$ について、以下の問いに答えます。

(1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求めます。

(2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求めます。

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ ($m \geq 1$) を求めます。ここで、${}_mC_n$ は二項係数です。

2. 解き方の手順

(1) $B_0, B_1, B_2, B_3$ を求める。

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$ が与えられています。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$ なので、

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots$

$\frac{x}{e^x - 1} (e^x - 1) = x$ であるから、

$\left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n \right) \left( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots \right) = x$

$\frac{B_0}{0!} x^0 \left( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots \right) + \frac{B_1}{1!} x^1 \left( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots \right) + \frac{B_2}{2!} x^2 \left( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots \right) + \dots = x$

$x$ の係数について $B_0 = 1$

$x^2$ の係数について $\frac{B_0}{2} + B_1 = 0$ より $B_1 = -\frac{1}{2}$

$x^3$ の係数について $\frac{B_0}{6} + \frac{B_1}{2} + \frac{B_2}{2} = 0$ より $\frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{B_2}{2} = 0 \Rightarrow \frac{B_2}{2} = \frac{1}{12} \Rightarrow B_2 = \frac{1}{6}$

$x^4$ の係数について $\frac{B_0}{24} + \frac{B_1}{6} + \frac{B_2}{4} + \frac{B_3}{6} = 0$ より $\frac{1}{24} - \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{B_3}{6} = 0 \Rightarrow \frac{B_3}{6} = 0 \Rightarrow B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求める。

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n = \frac{B_0}{0!} x^0 + \frac{B_1}{1!} x^1 + \frac{B_2}{2!} x^2 + \frac{B_3}{3!} x^3 + \dots$

$= 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{6} \cdot \frac{x^2}{2} + 0 \cdot \frac{x^3}{6} + \dots = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} x^2 + 0 x^3 + \dots$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n$ ($m \geq 1$) を求める。

$\sum_{n=0}^{m} {}_mC_n B_n = B_0 {}_mC_0 + B_1 {}_mC_1 + B_2 {}_mC_2 + \dots + B_m {}_mC_m$

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$x = (e^x - 1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n$

$\sum_{n=0}^{m} {}_mC_n B_n = B_0 + mB_1 + \frac{m(m-1)}{2} B_2 + \dots + B_m$

$\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = - B_m$ (m > 1)

$\frac{x}{e^x-1} e^x = \frac{xe^x}{e^x-1}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n) (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}) = \frac{x e^x}{e^x-1}$

3. 最終的な答え

(1) $B_0 = 1$, $B_1 = -\frac{1}{2}$, $B_2 = \frac{1}{6}$, $B_3 = 0$

(2) $\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} x^2 + O(x^4)$

(3) $\sum_{n=0}^{m-1} {}_mC_n B_n = 0$ ($m > 1$ の整数). m=1のときはB_0 = 1