与えられた微分方程式を解きます。 微分方程式は $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$ です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解きます。

微分方程式は $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$ です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は同次形であるため、$y = vx$ とおいて解きます。このとき、$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ となります。

与えられた微分方程式に代入すると、

$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{2vx^2}{x^2 + v^2x^2} = \frac{2v}{1+v^2}$

となります。

したがって、$x \frac{dv}{dx} = \frac{2v}{1+v^2} - v = \frac{2v - v(1+v^2)}{1+v^2} = \frac{2v - v - v^3}{1+v^2} = \frac{v - v^3}{1+v^2} = \frac{v(1-v^2)}{1+v^2}$

となります。

したがって、$\frac{1+v^2}{v(1-v^2)} dv = \frac{dx}{x}$ となります。

部分分数分解を行うと、$\frac{1+v^2}{v(1-v^2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{1-v} + \frac{C}{1+v}$ となります。

$1+v^2 = A(1-v^2) + Bv(1+v) + Cv(1-v) = A - Av^2 + Bv + Bv^2 + Cv - Cv^2 = A + (B+C)v + (B-A-C)v^2$

より、

$A = 1$

$B+C = 0$

$B-A-C = 1$

$B-C = 2$

$2B = 2$ より $B = 1$, よって $C = -1$

したがって、$\frac{1+v^2}{v(1-v^2)} = \frac{1}{v} + \frac{1}{1-v} - \frac{1}{1+v}$

積分すると $\int (\frac{1}{v} + \frac{1}{1-v} - \frac{1}{1+v}) dv = \int \frac{dx}{x}$

$\ln|v| - \ln|1-v| - \ln|1+v| = \ln|x| + C$

$\ln|\frac{v}{(1-v)(1+v)}| = \ln|x| + C$

$\ln|\frac{v}{1-v^2}| = \ln|x| + C$

$\frac{v}{1-v^2} = kx$ ($k$ は定数)

$\frac{y/x}{1 - (y/x)^2} = kx$

$\frac{y/x}{1 - y^2/x^2} = kx$

$\frac{y/x}{(x^2 - y^2)/x^2} = kx$

$\frac{yx}{x^2 - y^2} = kx$

$y = k(x^2 - y^2)$

$y = kx^2 - ky^2$

$kx^2 - ky^2 - y = 0$

3. 最終的な答え

$kx^2 - ky^2 - y = 0$ (kは任意定数)