次の4つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$ (2) $\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x} dx$ (3) $\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$ (4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\tan x}{1+\tan^2 x} dx$

## 問題11-2 定積分の計算

1. 問題の内容

次の4つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$

(2) $\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x} dx$

(3) $\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\tan x}{1+\tan^2 x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$

まず、根号の中を平方完成します。

$3 + 2x - x^2 = 4 - (x^2 - 2x + 1) = 4 - (x-1)^2$

したがって、積分は

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4 - (x-1)^2}} dx$

ここで、$x-1 = 2\sin\theta$ と置換すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

$x=0$のとき、$-1 = 2\sin\theta$ より $\sin\theta = -\frac{1}{2}$、$\theta = -\frac{\pi}{6}$

$x=1$のとき、$0 = 2\sin\theta$ より $\sin\theta = 0$、$\theta = 0$

したがって、積分は

$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{4 - 4\sin^2\theta}} 2\cos\theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \frac{2\cos\theta}{2\cos\theta} d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} 1 d\theta$

$= [\theta]_{-\frac{\pi}{6}}^{0} = 0 - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$

(2) $\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x} dx$

$u = 1-x$ と置換すると、$x = 1-u$, $dx = -du$ となります。

$x=0$ のとき $u=1$, $x=1$ のとき $u=0$

したがって、積分は

$\int_{1}^{0} (1-u)\sqrt{u}(-du) = \int_{0}^{1} (1-u)u^{\frac{1}{2}} du = \int_{0}^{1} (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du$

$= [\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15}$

(3) $\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$

$x = 2\sin\theta$ と置換すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

$x=0$ のとき $\sin\theta = 0$ より $\theta = 0$

$x=2$ のとき $\sin\theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$

したがって、積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} 2\cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta d\theta = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta$

$= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) d\theta$

$= 2[\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2(\frac{\pi}{2} + 0 - (0 + 0)) = \pi$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\tan x}{1+\tan^2 x} dx$

$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ であるから、積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \tan x \cos^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x \cos x dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。

$x=0$ のとき $u=\sin 0 = 0$

$x=\frac{\pi}{6}$ のとき $u=\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

したがって、積分は

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} u du = [\frac{1}{2}u^2]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $\frac{4}{15}$

(3) $\pi$

(4) $\frac{1}{8}$