$y = \tan(\frac{\theta}{3}) + 1$ という関数が与えられ、$y = \tan(\theta)$ のときの $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \tan(\frac{\theta}{3}) + 1$ という関数が与えられ、$y = \tan(\theta)$ のときの $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式に $y = \tan(\theta)$ を代入します。

$\tan(\theta) = \tan(\frac{\theta}{3}) + 1$

次に、$\tan(\theta) - \tan(\frac{\theta}{3}) = 1$ となる $\theta$ を探します。

この式を直接解くのは難しいので、$\theta$ の特定の値について試してみます。

$\theta = \frac{3\pi}{4}$ の場合を試します。

$\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$

$\tan(\frac{3\pi}{4} \times \frac{1}{3}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\tan(\frac{3\pi}{4}) - \tan(\frac{\pi}{4}) = -1 - 1 = -2$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ の場合を試します。

$\tan(\frac{\pi}{2})$ は定義されないので、$y$ は定義されません。

$\theta = \frac{3\pi}{2}$ の場合を試します。

$\tan(\frac{3\pi}{2})$ は定義されないので、$y$ は定義されません。

$t = \tan(\theta/3)$ とおくと、三倍角の公式より

$\tan(\theta) = \frac{3t-t^3}{1-3t^2}$

$\frac{3t-t^3}{1-3t^2} = t+1$

$3t-t^3 = (t+1)(1-3t^2) = t+1-3t^3-3t^2$

$2t^3+3t^2+2t-1 = 0$

$(t+\frac{1}{2})(2t^2+2t-2)=0$

$t = -\frac{1}{2}$ or $t = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$t = \tan(\theta/3) = -\frac{1}{2}$

$\theta/3 = \arctan(-\frac{1}{2})$

$\theta = 3\arctan(-\frac{1}{2})$

$t = \tan(\theta/3) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$\theta/3 = \arctan(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$

$\theta = 3\arctan(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$

3. 最終的な答え

$\theta = 3\arctan(-\frac{1}{2})$ or $\theta = 3\arctan(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$