袋の中に赤玉が6個、白玉が3個入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、取り出した玉に含まれる白玉の個数に関する以下の問いに答える。 (1) 取り出した玉に含まれる白玉の個数の確率分布を表にまとめる。 (2) (1)で求めた確率分布を用いて、取り出した玉に含まれる白玉の個数の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が6個、白玉が3個入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、取り出した玉に含まれる白玉の個数に関する以下の問いに答える。

(1) 取り出した玉に含まれる白玉の個数の確率分布を表にまとめる。

(2) (1)で求めた確率分布を用いて、取り出した玉に含まれる白玉の個数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 白玉の個数ごとに確率を計算する。

* 白玉が0個の確率：2個とも赤玉である確率。これは、9個の玉から2個を選ぶ組み合わせのうち、赤玉6個から2個を選ぶ組み合わせの割合で求められる。

$\frac{{}_{6}C_2}{{}_{9}C_2} = \frac{\frac{6 \times 5}{2 \times 1}}{\frac{9 \times 8}{2 \times 1}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

* 白玉が1個の確率：赤玉1個、白玉1個である確率。これは、赤玉6個から1個、白玉3個から1個を選ぶ組み合わせを、9個の玉から2個を選ぶ組み合わせで割ったもので求められる。

$\frac{{}_{6}C_1 \times {}_{3}C_1}{{}_{9}C_2} = \frac{6 \times 3}{\frac{9 \times 8}{2 \times 1}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

* 白玉が2個の確率：2個とも白玉である確率。これは、白玉3個から2個を選ぶ組み合わせを、9個の玉から2個を選ぶ組み合わせで割ったもので求められる。

$\frac{{}_{3}C_2}{{}_{9}C_2} = \frac{\frac{3 \times 2}{2 \times 1}}{\frac{9 \times 8}{2 \times 1}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

上記の確率を表に記入する。

(2) 期待値$E(X)$を以下の式で計算する。

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$

ここで、$P(X=i)$は白玉が$i$個である確率である。

したがって、

$E(X) = 0 \times \frac{5}{12} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{12} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 表

| 個数 | 0個 | 1個 | 2個 | 計 |

|---|---|---|---|---|

| 確率 | 5/12 | 1/2 | 1/12 | 1 |

(2) 期待値: 2/3