赤玉6個、白玉3個が入った袋から2個の玉を同時に取り出すとき、白玉の出る個数の確率を表す表を完成させ、その表を利用して白玉の出る個数の期待値を求める。

1. 問題の内容

赤玉6個、白玉3個が入った袋から2個の玉を同時に取り出すとき、白玉の出る個数の確率を表す表を完成させ、その表を利用して白玉の出る個数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 表の完成

全体の場合の数は、9個から2個を取り出す組み合わせなので、

$_{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通りです。

- 白玉が0個の場合：赤玉6個から2個を取り出すので、$_{6}C_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。確率は $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

- 白玉が1個の場合：赤玉6個から1個、白玉3個から1個を取り出すので、$_{6}C_{1} \times _{3}C_{1} = 6 \times 3 = 18$ 通り。確率は $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

- 白玉が2個の場合：白玉3個から2個を取り出すので、$_{3}C_{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

表は以下のようになります。

| 個数 | 0個 | 1個 | 2個 | 計 |

|---|---|---|---|---|

| 確率 | $\frac{5}{12}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{12}$ | 1 |

(2) 白玉の出る個数の期待値

期待値は、各値とその確率の積の和で計算します。

$E = 0 \times \frac{5}{12} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{12} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 完成した表

| 個数 | 0個 | 1個 | 2個 | 計 |

|---|---|---|---|---|

| 確率 | $\frac{5}{12}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{12}$ | 1 |

(2) 白玉の出る個数の期待値: $\frac{2}{3}$