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従業員数の異なる P, Q, R, S の4社について以下のことがわかっている。 * P社はQ社より従業員が多い * R社はS社より従業員が多い このとき従業員数の少ない順に4社を並べたとき、考えられる順番の組み合わせは何通りあるか求めなさい。

その他順列大小関係組み合わせ
2025/5/16

1. 問題の内容

従業員数の異なる P, Q, R, S の4社について以下のことがわかっている。
* P社はQ社より従業員が多い
* R社はS社より従業員が多い
このとき従業員数の少ない順に4社を並べたとき、考えられる順番の組み合わせは何通りあるか求めなさい。

2. 解き方の手順

従業員数で順位をつけることを考えます。P > Q, R > S という関係があるので、可能性のあるすべての順位のパターンを書き出します。

1. P, R, Q, S の順。これはありえない（RよりSが大きい必要があるので）

2. P, R, S, Q はありえない

3. P, S, R, Q はありえない

4. R, P, Q, S はありえない

5. R, P, S, Q はありえない

6. R, S, P, Q はありえない

7. S, R, P, Q はありえない

ここで、P > Q, R > S という条件より考えられる順位のパターンを列挙します。

1. R > P > S > Q

2. R > S > P > Q

3. P > R > S > Q

4. P > S > R > Q

5. R > P > Q > S

6. P > R > Q > S

これらのパターンにおいて、P > Q, R > Sが成り立っているか確認します。

1. R > P > S > Q　(R > S, P > Q)

2. R > S > P > Q (R > S, P > Q)

3. P > R > S > Q (R > S, P > Q)

4. P > S > R > Q (R > S, P > Q)

5. R > P > Q > S （R > S, P > Q）

6. P > R > Q > S (R > S, P > Q)

上記のパターンはすべて条件を満たしています。
しかし、PとR, QとSの大小関係がまだ決まっていないので、他の順列のパターンを考慮する必要があります。
P, Q, R, S　の順位のパターンを全通りリストアップします。
4つのものを並び替える順列は 4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 通りです。
P > Q, R > S　という条件があるので、
順列のパターンをすべて調べなくてもよさそうです。
R > S, P > Q ということは確定しているので、R,S,P,Qの大小関係の順列を考えることにします。
RとP,RとQ,RとS,PとQ,PとS,QとSの大小関係がまだ決まっていないので場合分けを行います。

1. R > P > S > Q

2. R > S > P > Q

3. P > R > S > Q

4. P > S > R > Q

5. R > P > Q > S

6. P > R > Q > S

これらの順列はすべて条件(P > Q, R > S)を満たしています。
これ以外のパターンはないため、6通りが答えとなります。

3. 最終的な答え

6 通り

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