2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ の $0 < x < 3$ における最大値と最小値を求めます。値が存在しない場合は「なし」と解答します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ の $0 < x < 3$ における最大値と最小値を求めます。値が存在しない場合は「なし」と解答します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = 2((x-1)^2 - 1) + 3 = 2(x-1)^2 - 2 + 3 = 2(x-1)^2 + 1$

したがって、頂点の座標は $(1, 1)$ です。

次に、定義域 $0 < x < 3$ におけるグラフの概形を考えます。

頂点の $x$ 座標 $x=1$ は定義域に含まれています。

$x=0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$

$x=3$ のとき、$y = 2(3)^2 - 4(3) + 3 = 18 - 12 + 3 = 9$

定義域は開区間なので、$x=0$ および $x=3$ のときの値は実際にはとりません。

頂点における $y$ の値は $1$ であり、これは定義域内の $x=1$ でとります。

したがって、最小値は $1$ （$x=1$ のとき）です。

$x$ が $3$ に近づくほど $y$ の値は大きくなり、$x=3$ のときの $y$ の値は $9$ です。しかし、定義域は $0 < x < 3$ なので、$x=3$ は含まれません。したがって、最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

最大値：なし ($x=$ なし のとき)

最小値：1 ($x=1$ のとき)