関数 $y = (x-a)^2 - 2$ が $-2 \le x \le 1$ の範囲で定義されているとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a < -2$ のとき、最小値とそのときの $x$ の値を求める。 (2) $-2 \le a \le 1$ のとき、最小値とそのときの $x$ の値を求める。 (3) $1 < a$ のとき、最小値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-a)^2 - 2$ が $-2 \le x \le 1$ の範囲で定義されているとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a < -2$ のとき、最小値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) $-2 \le a \le 1$ のとき、最小値とそのときの $x$ の値を求める。

(3) $1 < a$ のとき、最小値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数は $y = (x-a)^2 - 2$ であり、これは下に凸な放物線を表します。軸は $x = a$ です。定義域は $-2 \le x \le 1$ です。

(1) $a < -2$ のとき、軸 $x = a$ は定義域よりも左側にあります。したがって、$x$ が大きくなるほど $y$ の値は小さくなります。最小値は $x = 1$ のときに取ります。

$x = 1$ を代入すると、最小値は $y = (1-a)^2 - 2$ となります。

(2) $-2 \le a \le 1$ のとき、軸 $x = a$ は定義域内にあります。したがって、頂点で最小値を取ります。

$x = a$ を代入すると、最小値は $y = (a-a)^2 - 2 = -2$ となります。

(3) $1 < a$ のとき、軸 $x = a$ は定義域よりも右側にあります。したがって、$x$ が小さくなるほど $y$ の値は小さくなります。最小値は $x = -2$ のときに取ります。

$x = -2$ を代入すると、最小値は $y = (-2-a)^2 - 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a < -2$ のとき、$x = 1$ で最小値 $(1-a)^2 - 2$ をとる。

(2) $-2 \le a \le 1$ のとき、$x = a$ で最小値 $-2$ をとる。

(3) $1 < a$ のとき、$x = -2$ で最小値 $(-2-a)^2 - 2$ をとる。