全体集合$U$と、その部分集合$A$, $B$に対して、$n(U)=50$, $n(A \cup B)=42$, $n(A \cap \overline{B})=3$, $n(\overline{A} \cap B)=15$であるとき、以下の集合の要素の個数を求めよ。 (1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ (2) $n(A \cap B)$ (3) $n(A)$ (4) $n(B)$

その他集合集合の要素数補集合ベン図
2025/5/16
はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、問題18を解きます。

1. 問題の内容

全体集合UUと、その部分集合AA, BBに対して、n(U)=50n(U)=50, n(AB)=42n(A \cup B)=42, n(AB)=3n(A \cap \overline{B})=3, n(AB)=15n(\overline{A} \cap B)=15であるとき、以下の集合の要素の個数を求めよ。
(1) n(AB)n(\overline{A} \cap \overline{B})
(2) n(AB)n(A \cap B)
(3) n(A)n(A)
(4) n(B)n(B)

2. 解き方の手順

(1) AB\overline{A} \cap \overline{B}は、ABA \cup Bの補集合なので、
n(AB)=n(AB)=n(U)n(AB)=5042=8n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 50 - 42 = 8
(2) AB=(AB)(AB)(AB)A \cup B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \cup (A \cap B)であり、これらの集合は互いに素なので、
n(AB)=n(AB)+n(AB)+n(AB)n(A \cup B) = n(A \cap \overline{B}) + n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap B)
42=3+15+n(AB)42 = 3 + 15 + n(A \cap B)
n(AB)=42315=24n(A \cap B) = 42 - 3 - 15 = 24
(3) A=(AB)(AB)A = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B)であり、これらの集合は互いに素なので、
n(A)=n(AB)+n(AB)=3+24=27n(A) = n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B) = 3 + 24 = 27
(4) B=(AB)(AB)B = (\overline{A} \cap B) \cup (A \cap B)であり、これらの集合は互いに素なので、
n(B)=n(AB)+n(AB)=15+24=39n(B) = n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap B) = 15 + 24 = 39

3. 最終的な答え

(1) n(AB)=8n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 8
(2) n(AB)=24n(A \cap B) = 24
(3) n(A)=27n(A) = 27
(4) n(B)=39n(B) = 39

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