全体集合$U$と、その部分集合$A$, $B$に対して、$n(U)=50$, $n(A \cup B)=42$, $n(A \cap \overline{B})=3$, $n(\overline{A} \cap B)=15$であるとき、以下の集合の要素の個数を求めよ。 (1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ (2) $n(A \cap B)$ (3) $n(A)$ (4) $n(B)$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、問題18を解きます。

1. 問題の内容

全体集合$U$と、その部分集合$A$, $B$に対して、$n(U)=50$, $n(A \cup B)=42$, $n(A \cap \overline{B})=3$, $n(\overline{A} \cap B)=15$であるとき、以下の集合の要素の個数を求めよ。

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

(2) $n(A \cap B)$

(3) $n(A)$

(4) $n(B)$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$は、$A \cup B$の補集合なので、

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 50 - 42 = 8$

(2) $A \cup B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \cup (A \cap B)$であり、これらの集合は互いに素なので、

$n(A \cup B) = n(A \cap \overline{B}) + n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap B)$

$42 = 3 + 15 + n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 42 - 3 - 15 = 24$

(3) $A = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B)$であり、これらの集合は互いに素なので、

$n(A) = n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B) = 3 + 24 = 27$

(4) $B = (\overline{A} \cap B) \cup (A \cap B)$であり、これらの集合は互いに素なので、

$n(B) = n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap B) = 15 + 24 = 39$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 8$

(2) $n(A \cap B) = 24$

(3) $n(A) = 27$

(4) $n(B) = 39$