関数 $y = (x-a)^2 + 5$ の $-4 \le x \le 0$ における最小値を求め、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-a)^2 + 5$ の $-4 \le x \le 0$ における最小値を求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数は、下に凸な二次関数であり、軸は $x = a$ です。定義域 $-4 \le x \le 0$ における最小値を求めるには、軸の位置によって場合分けする必要があります。

(1) $a < -4$ のとき

軸が定義域の左側にあるため、関数は定義域内で単調減少します。したがって、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = (0-a)^2 + 5 = a^2 + 5$ です。

(2) $-4 \le a \le 0$ のとき

軸が定義域内にあるため、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a-a)^2 + 5 = 5$ です。

(3) $0 < a$ のとき

軸が定義域の右側にあるため、関数は定義域内で単調増加します。したがって、$x = -4$ で最小値をとります。

最小値は $y = (-4-a)^2 + 5 = (a+4)^2 + 5 = a^2 + 8a + 16 + 5 = a^2 + 8a + 21$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最小値 $a^2 + 5$

(2) $-4 \le a \le 0$ のとき、$x = a$ で最小値 $5$

(3) $0 < a$ のとき、$x = -4$ で最小値 $a^2 + 8a + 21$