1. 集合 $A = \{0, 4, 8, 12, 16, 20\}$ および $B = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$ を、要素を列挙するのではなく、集合の要素が満たすべき条件を示す方法で表現する。

1. 問題の内容

1. 集合 $A = \{0, 4, 8, 12, 16, 20\}$ および $B = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$ を、要素を列挙するのではなく、集合の要素が満たすべき条件を示す方法で表現する。

2. 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$、集合 $B = \{1, 2, 5, 6, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $A \cap B$

(2) $\overline{A}$

(3) $\overline{B}$

(4) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

1. (1) 集合 $A$ の要素はすべて4の倍数であり、0から20までの範囲にある。したがって、$A$ は「0以上20以下の4の倍数全体の集合」と表現できる。

(2) 集合 $B$ の要素はすべて45の約数である。したがって、$B$ は「45の正の約数全体の集合」と表現できる。

2. (1) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素からなる集合である。$A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$ かつ $B = \{1, 2, 5, 6, 9\}$ なので、$A \cap B = \{5\}$。

(2) $\overline{A}$ は全体集合 $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素からなる集合である。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ かつ $A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$ なので、$\overline{A} = \{1, 2, 6, 9\}$。

(3) $\overline{B}$ は全体集合 $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素からなる集合である。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ かつ $B = \{1, 2, 5, 6, 9\}$ なので、$\overline{B} = \{3, 4, 7, 8\}$。

(4) $A \cup \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の少なくとも一方に含まれる要素からなる集合である。$A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$ かつ $\overline{B} = \{3, 4, 7, 8\}$なので、$A \cup \overline{B} = \{3, 4, 5, 7, 8\}$。

3. 最終的な答え

1. (1) $A = \{ x \mid x \text{ は } 0 \leq x \leq 20 \text{ を満たす4の倍数} \}$

(2) $B = \{ x \mid x \text{ は 45 の正の約数} \}$

2. (1) $A \cap B = \{5\}$

(2) $\overline{A} = \{1, 2, 6, 9\}$

(3) $\overline{B} = \{3, 4, 7, 8\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{3, 4, 5, 7, 8\}$