全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$、集合 $B = \{1, 2, 5, 6, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $\overline{A}$ (3) $\overline{B}$ (4) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$、集合 $B = \{1, 2, 5, 6, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $\overline{A}$

(3) $\overline{B}$

(4) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分です。つまり、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素を集めた集合です。

$A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$

$B = \{1, 2, 5, 6, 9\}$

したがって、$A \cap B = \{5\}$ となります。

(2) $\overline{A}$ は、集合 $A$ の補集合です。つまり、全体集合 $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素を集めた集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

$A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$

したがって、$\overline{A} = \{1, 2, 6, 9\}$ となります。

(3) $\overline{B}$ は、集合 $B$ の補集合です。つまり、全体集合 $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素を集めた集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

$B = \{1, 2, 5, 6, 9\}$

したがって、$\overline{B} = \{3, 4, 7, 8\}$ となります。

(4) $A \cup \overline{B}$ は、集合 $A$ と集合 $\overline{B}$ の和集合です。つまり、$A$ または $\overline{B}$ に含まれる要素をすべて集めた集合です。

$A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$

$\overline{B} = \{3, 4, 7, 8\}$

したがって、$A \cup \overline{B} = \{3, 4, 5, 7, 8\}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{5\}$

(2) $\overline{A} = \{1, 2, 6, 9\}$

(3) $\overline{B} = \{3, 4, 7, 8\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{3, 4, 5, 7, 8\}$