1から100までの整数のうち、3と互いに素なものの個数、10と互いに素なものの個数、30と互いに素なものの個数をそれぞれ求める問題です。

数論互いに素約数倍数包除原理整数

2025/3/7

1. 問題の内容

2. 解き方の手順

* 3と互いに素なものの個数:

1から100までの整数のうち、3の倍数は

100 \div 3 = 33.33...

より33個。よって、3と互いに素なものの個数は

100 - 33 = 67

個。

* 10と互いに素なものの個数:

10の素因数は2と5。

1から100までの整数のうち、2の倍数は

100 \div 2 = 50

個。

1から100までの整数のうち、5の倍数は

100 \div 5 = 20

個。

1から100までの整数のうち、10の倍数は

100 \div 10 = 10

個。

2または5の倍数の個数は、包除原理より

50 + 20 - 10 = 60

個。

よって、10と互いに素なものの個数は

100 - 60 = 40

個。

* 30と互いに素なものの個数:

30の素因数は2, 3, 5。

1から100までの整数のうち、2の倍数は

100 \div 2 = 50

個。

1から100までの整数のうち、3の倍数は

100 \div 3 = 33

個。

1から100までの整数のうち、5の倍数は

100 \div 5 = 20

個。

1から100までの整数のうち、6の倍数は

100 \div 6 = 16

個。

1から100までの整数のうち、10の倍数は

100 \div 10 = 10

個。

1から100までの整数のうち、15の倍数は

100 \div 15 = 6

個。

1から100までの整数のうち、30の倍数は

100 \div 30 = 3

個。

2または3または5の倍数の個数は、包除原理より

50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = 74

個。

よって、30と互いに素なものの個数は

100 - 74 = 26

個。

3. 最終的な答え

3と互いに素なものの個数: 67

10と互いに素なものの個数: 40

30と互いに素なものの個数: 26

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