偏差値 $X$ が正規分布に従うとき、平均 $\mu = 50$、標準偏差 $\sigma = 10$ である。上位5%以内に入る偏差値はおよそいくらかを求める問題です。

確率論・統計学正規分布偏差値統計z値
2025/5/17

1. 問題の内容

偏差値 XX が正規分布に従うとき、平均 μ=50\mu = 50、標準偏差 σ=10\sigma = 10 である。上位5%以内に入る偏差値はおよそいくらかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、標準正規分布において上位5%となる zz 値を求めます。標準正規分布表または計算ツールを用いて、累積確率が 10.05=0.951 - 0.05 = 0.95 となる zz 値を探します。この zz 値はおよそ 1.6451.645 です。
次に、この zz 値を用いて、偏差値 XX を求めます。偏差値 XX は以下の式で表されます。
X=μ+zσX = \mu + z \sigma
与えられた μ=50\mu = 50, σ=10\sigma = 10, そして求めた z=1.645z = 1.645 を代入します。
X=50+1.645×10=50+16.45=66.45X = 50 + 1.645 \times 10 = 50 + 16.45 = 66.45

3. 最終的な答え

上位5%以内に入る偏差値はおよそ66.45以上です。

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