生徒60人に数学と英語のテストをしたところ、数学に合格した生徒は50人、英語に合格した生徒は55人であった。少なくとも一方に合格した生徒の人数は最も多くて何人か、また最も少なくて何人か。

確率論・統計学集合ベン図場合の数論理
2025/5/17

1. 問題の内容

生徒60人に数学と英語のテストをしたところ、数学に合格した生徒は50人、英語に合格した生徒は55人であった。少なくとも一方に合格した生徒の人数は最も多くて何人か、また最も少なくて何人か。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも一方に合格した生徒の人数を考える。
* 数学に合格した生徒の集合をA、英語に合格した生徒の集合をBとする。
* 少なくとも一方に合格した生徒の集合は、ABA \cup B で表される。
* n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) である。
* n(A)=50n(A) = 50 , n(B)=55n(B) = 55 である。
* n(AB)n(A \cup B) が最大になるのは、n(AB)n(A \cap B) が最小のときである。
* ABA \cup B が全体集合となる時、n(AB)n(A \cup B)は最大となるので、最大値は60人である。
* ABA \cup B が最小になるのは、ABA \subset BまたはBAB \subset Aのときである。
* ABA \subset BであればAB=BA \cup B = BBAB \subset AであればAB=AA \cup B = Aとなる。
* n(A)=50,n(B)=55n(A)=50, n(B)=55であるので、ABA \subset Bとなることはない。よって、BAB \subset Aの場合はn(AB)=50n(A \cup B) = 50となることはない。
AB=BA \cup B = Bの場合、n(AB)=55n(A \cup B) = 55となる。
生徒は60人なので、n(AUB)は最小で55人、最大で60人となる。

3. 最終的な答え

最大値: 60人
最小値: 55人

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