生徒60人に数学と英語のテストをしたところ、数学に合格した生徒は50人、英語に合格した生徒は55人であった。少なくとも一方に合格した生徒の人数は最も多くて何人か、また最も少なくて何人か。

1. 問題の内容

生徒60人に数学と英語のテストをしたところ、数学に合格した生徒は50人、英語に合格した生徒は55人であった。少なくとも一方に合格した生徒の人数は最も多くて何人か、また最も少なくて何人か。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも一方に合格した生徒の人数を考える。

* 数学に合格した生徒の集合をA、英語に合格した生徒の集合をBとする。

* 少なくとも一方に合格した生徒の集合は、$A \cup B$ で表される。

* $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ である。

* $n(A) = 50$ , $n(B) = 55$ である。

* $n(A \cup B)$ が最大になるのは、$n(A \cap B)$ が最小のときである。

* $A \cup B$ が全体集合となる時、$n(A \cup B)$は最大となるので、最大値は60人である。

* $A \cup B$ が最小になるのは、$A \subset B$または$B \subset A$のときである。

* $A \subset B$であれば$A \cup B = B$、$B \subset A$であれば$A \cup B = A$となる。

* $n(A)=50, n(B)=55$であるので、$A \subset B$となることはない。よって、$B \subset A$の場合は$n(A \cup B) = 50$となることはない。

$A \cup B = B$の場合、$n(A \cup B) = 55$となる。

生徒は60人なので、n(AUB)は最小で55人、最大で60人となる。

3. 最終的な答え

最大値: 60人

最小値: 55人