問題は、$\frac{1}{4 - \sqrt{15}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、(1) $a$ と $b$ の値を求め、(2) $a^2 - b(b+6)$ の値を求める、というものです。

代数学無理数の計算有理化平方根整数部分小数部分
2025/5/17

1. 問題の内容

問題は、1415\frac{1}{4 - \sqrt{15}} の整数部分を aa、小数部分を bb とするとき、(1) aabb の値を求め、(2) a2b(b+6)a^2 - b(b+6) の値を求める、というものです。

2. 解き方の手順

(1) まず、1415\frac{1}{4 - \sqrt{15}} を有理化します。
分子と分母に 4+154 + \sqrt{15} を掛けます。
1415=14154+154+15=4+151615=4+15\frac{1}{4 - \sqrt{15}} = \frac{1}{4 - \sqrt{15}} \cdot \frac{4 + \sqrt{15}}{4 + \sqrt{15}} = \frac{4 + \sqrt{15}}{16 - 15} = 4 + \sqrt{15}
次に、15\sqrt{15} の近似値を考えます。
32=93^2 = 942=164^2 = 16 なので、3<15<43 < \sqrt{15} < 4 です。
より詳しく、3.82=14.443.8^2 = 14.443.92=15.213.9^2 = 15.21なので、3.8<15<3.93.8 < \sqrt{15} < 3.9です。
したがって、4+3.8<4+15<4+3.94 + 3.8 < 4 + \sqrt{15} < 4 + 3.9 より、7.8<4+15<7.97.8 < 4 + \sqrt{15} < 7.9 となります。
よって、4+154 + \sqrt{15} の整数部分は 77 なので、a=7a = 7です。
小数部分は、b=(4+15)7=153b = (4 + \sqrt{15}) - 7 = \sqrt{15} - 3 です。
(2) a2b(b+6)a^2 - b(b+6) の値を求めます。
a=7a = 7b=153b = \sqrt{15} - 3 なので、
a2b(b+6)=72(153)(153+6)=49(153)(15+3)=49(159)=496=43a^2 - b(b+6) = 7^2 - (\sqrt{15} - 3)(\sqrt{15} - 3 + 6) = 49 - (\sqrt{15} - 3)(\sqrt{15} + 3) = 49 - (15 - 9) = 49 - 6 = 43

3. 最終的な答え

(1) a=7a = 7, b=153b = \sqrt{15} - 3
(2) a2b(b+6)=43a^2 - b(b+6) = 43

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