問題は、$\frac{1}{4 - \sqrt{15}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、(1) $a$ と $b$ の値を求め、(2) $a^2 - b(b+6)$ の値を求める、というものです。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{4 - \sqrt{15}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、(1) $a$ と $b$ の値を求め、(2) $a^2 - b(b+6)$ の値を求める、というものです。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{4 - \sqrt{15}}$ を有理化します。

分子と分母に $4 + \sqrt{15}$ を掛けます。

$\frac{1}{4 - \sqrt{15}} = \frac{1}{4 - \sqrt{15}} \cdot \frac{4 + \sqrt{15}}{4 + \sqrt{15}} = \frac{4 + \sqrt{15}}{16 - 15} = 4 + \sqrt{15}$

次に、$\sqrt{15}$ の近似値を考えます。

$3^2 = 9$、 $4^2 = 16$ なので、$3 < \sqrt{15} < 4$ です。

より詳しく、$3.8^2 = 14.44$、 $3.9^2 = 15.21$なので、$3.8 < \sqrt{15} < 3.9$です。

したがって、$4 + 3.8 < 4 + \sqrt{15} < 4 + 3.9$ より、$7.8 < 4 + \sqrt{15} < 7.9$ となります。

よって、$4 + \sqrt{15}$ の整数部分は $7$ なので、$a = 7$です。

小数部分は、$b = (4 + \sqrt{15}) - 7 = \sqrt{15} - 3$ です。

(2) $a^2 - b(b+6)$ の値を求めます。

$a = 7$、$b = \sqrt{15} - 3$ なので、

$a^2 - b(b+6) = 7^2 - (\sqrt{15} - 3)(\sqrt{15} - 3 + 6) = 49 - (\sqrt{15} - 3)(\sqrt{15} + 3) = 49 - (15 - 9) = 49 - 6 = 43$

3. 最終的な答え

(1) $a = 7$, $b = \sqrt{15} - 3$

(2) $a^2 - b(b+6) = 43$