定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{1+x^2}$ の不定積分を求めます。これは $\arctan(x)$ であることが知られています。

したがって、

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$

となります。

次に、定積分の定義に従って、$\arctan(x)$ の $x=1$ と $x=0$ における値を計算します。

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

$\arctan(0) = 0$

したがって、定積分の値は

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$