定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx$ の値を求め、選択肢から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx$ の値を求め、選択肢から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{1+x^2}$ の不定積分を求めます。

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-\sqrt{3}}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(1) - \arctan(-\sqrt{3})$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ です。

したがって、

$\int_{-\sqrt{3}}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + 4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\pi}{12}$