定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^3 \cos x \, dx$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^3 \cos x \, dx$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分で解くことができます。

$u = \sin x$ と置くと、$du = \cos x \, dx$ となります。

積分の範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$u = \sin 0 = 0$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} u^3 \, du$

これを計算します。

$\int_{0}^{1} u^3 \, du = \left[ \frac{1}{4} u^4 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} (1^4 - 0^4) = \frac{1}{4} (1 - 0) = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$