定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x)^3 \cos x \, dx$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しい答えを選びます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x)^3 \cos x \, dx$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しい答えを選びます。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = \sin x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \cos x$ より、$du = \cos x \, dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$u = \sin 0 = 0$ です。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$u = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x)^3 \cos x \, dx = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} u^3 \, du$

次に、この積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} u^3 \, du = \left[ \frac{1}{4} u^4 \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$=\frac{1}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^4 - \frac{1}{4} (0)^4$

$=\frac{1}{4} \left( \frac{1}{4} \right) - 0$

$=\frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

したがって、定積分の値は $\frac{1}{16}$ です。