$log_{10}2=0.3010$、$log_{10}3=0.4771$とする。$(\frac{1}{125})^{20}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか、そしてその値を求める。

1. 問題の内容

$log_{10}2=0.3010$、$log_{10}3=0.4771$とする。$(\frac{1}{125})^{20}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか、そしてその値を求める。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{125})^{20}$を計算する前に、対数を用いて評価する。$N = (\frac{1}{125})^{20}$とおき、常用対数をとると

$log_{10}N = log_{10}(\frac{1}{125})^{20} = 20log_{10}(\frac{1}{125})$

$log_{10}N = 20log_{10}(5^{-3}) = -60log_{10}5$

$log_{10}5 = log_{10}(\frac{10}{2}) = log_{10}10 - log_{10}2 = 1 - log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$log_{10}N = -60 \times 0.6990 = -41.94 = -42 + 0.06$

$log_{10}N = -42 + 0.06$

ここで、$log_{10}x=0.06$となる$x$の値を考える。

$log_{10}1=0$なので、$x>1$である。また、$log_{10}2 = 0.3010$より、$x<2$となる。

$N = 10^{-42} \times 10^{0.06}$である。

$10^{0.06}$の値を知るために、以下の不等式を評価する。

$log_{10}1.1 = log_{10}(\frac{11}{10}) = log_{10}11 - 1$

$log_{10}11 \approx 1.0414$

$log_{10}1.1 \approx 0.0414$

$log_{10}1.2 = log_{10}(\frac{12}{10}) = log_{10}12 - 1 = log_{10}(2^2 \times 3) - 1 = 2log_{10}2 + log_{10}3 - 1 = 2 \times 0.3010 + 0.4771 - 1 = 0.6020 + 0.4771 - 1 = 1.0791 - 1 = 0.0791$

$0.0414 < 0.06 < 0.0791$

$1.1 < 10^{0.06} < 1.2$

したがって、$N = (\frac{1}{125})^{20} = 10^{-42} \times 10^{0.06}$は、小数第42位に初めて0でない数字が現れ、その値は1である。

3. 最終的な答え

小数第42位に初めて0でない数字が現れ、その値は1である。