与えられた方程式 $30x + 17y = 2$ の整数解をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $30x + 17y = 2$ の整数解をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、特殊解を一つ見つけます。次に、一般解を求めます。

$30$ と $17$ の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。

$30 = 17 \cdot 1 + 13$

$17 = 13 \cdot 1 + 4$

$13 = 4 \cdot 3 + 1$

$4 = 1 \cdot 4 + 0$

よって、最大公約数は $1$ です。

次に、式を逆にたどって、$30$ と $17$ の整数倍の和が $1$ になるようにします。

$1 = 13 - 4 \cdot 3$

$1 = 13 - (17 - 13) \cdot 3 = 13 - 3 \cdot 17 + 3 \cdot 13 = 4 \cdot 13 - 3 \cdot 17$

$1 = 4 \cdot (30 - 17) - 3 \cdot 17 = 4 \cdot 30 - 4 \cdot 17 - 3 \cdot 17 = 4 \cdot 30 - 7 \cdot 17$

したがって、$30 \cdot 4 + 17 \cdot (-7) = 1$ です。

これを $2$ 倍すると、$30 \cdot 8 + 17 \cdot (-14) = 2$ となります。

よって、$x = 8$, $y = -14$ は与えられた方程式の一つの解です。

一般解を求めます。

$30x + 17y = 2$ と $30 \cdot 8 + 17 \cdot (-14) = 2$ の差をとると、

$30(x - 8) + 17(y + 14) = 0$

$30(x - 8) = -17(y + 14)$

$30$ と $17$ は互いに素なので、$x - 8$ は $17$ の倍数であり、$y + 14$ は $30$ の倍数です。

そこで、$x - 8 = 17k$、$y + 14 = -30k$ とおけます（$k$ は整数）。

したがって、$x = 17k + 8$、$y = -30k - 14$ となります。

3. 最終的な答え

$x = 17k + 8$

$y = -30k - 14$ (kは整数)