曲線 $y=1$, $y=\log x$, および直線 $x=1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y=1$, $y=\log x$, および直線 $x=1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y=\log x$ と $y=1$ の交点を求める。

$\log x = 1$ を解くと $x = e$ となる。

よって、求める面積は、$x=1$ から $x=e$ までの範囲で、$y=1$ と $y=\log x$ の間の面積を計算すればよい。

面積 $S$ は次の積分で求められる。

$S = \int_{1}^{e} (1 - \log x) dx$

ここで、部分積分を用いて $\int \log x dx$ を計算する。

$u = \log x, dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx, v = x$ となる。

よって、$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C$

したがって、

$S = \int_{1}^{e} (1 - \log x) dx = [x - (x \log x - x)]_{1}^{e} = [2x - x \log x]_{1}^{e}$

$S = (2e - e \log e) - (2 \cdot 1 - 1 \cdot \log 1) = (2e - e) - (2 - 0) = e - 2$

3. 最終的な答え

$e-2$