次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めます。 (1) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 + 2x - 3$ (2) $\int_{1}^{x} f(t) dt = 2x^2 + x + a$

1. 問題の内容

次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めます。

(1) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 + 2x - 3$

(2) $\int_{1}^{x} f(t) dt = 2x^2 + x + a$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 + 2x - 3$

まず、両辺を $x$ で微分します。積分の微積分学の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

$\frac{d}{dx} (x^2 + 2x - 3) = 2x + 2$

したがって、$f(x) = 2x + 2$

次に、$x = a$ を元の式に代入します。

$\int_{a}^{a} f(t) dt = a^2 + 2a - 3$

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$ なので、$a^2 + 2a - 3 = 0$

$(a+3)(a-1) = 0$

$a = -3, 1$

$f(x) = 2x + 2$ を積分して確かめます。

$\int_{-3}^{x} (2t+2) dt = [t^2 + 2t]_{-3}^{x} = (x^2 + 2x) - ((-3)^2 + 2(-3)) = x^2 + 2x - (9 - 6) = x^2 + 2x - 3$

$\int_{1}^{x} (2t+2) dt = [t^2 + 2t]_{1}^{x} = (x^2 + 2x) - (1^2 + 2(1)) = x^2 + 2x - (1 + 2) = x^2 + 2x - 3$

したがって、$a=-3$ または $a=1$ のとき $f(x) = 2x+2$ が条件を満たします。

(2) $\int_{1}^{x} f(t) dt = 2x^2 + x + a$

まず、両辺を $x$ で微分します。積分の微積分学の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} f(t) dt = f(x)$

$\frac{d}{dx} (2x^2 + x + a) = 4x + 1$

したがって、$f(x) = 4x + 1$

次に、$x = 1$ を元の式に代入します。

$\int_{1}^{1} f(t) dt = 2(1)^2 + 1 + a$

$\int_{1}^{1} f(t) dt = 0$ なので、$2(1) + 1 + a = 0$

$2 + 1 + a = 0$

$3 + a = 0$

$a = -3$

$f(x) = 4x + 1$ を積分して確かめます。

$\int_{1}^{x} (4t+1) dt = [2t^2 + t]_{1}^{x} = (2x^2 + x) - (2(1)^2 + 1) = 2x^2 + x - (2 + 1) = 2x^2 + x - 3$

したがって、$f(x) = 4x + 1$ かつ $a = -3$ が条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 2x + 2$, $a = -3$ または $a = 1$

(2) $f(x) = 4x + 1$, $a = -3$