曲線 $y = x^2$, $y = \frac{1}{2}$ (定義域 $0 \le x$), および直線 $x = 0$ で囲まれた図形を $y$ 軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2$, $y = \frac{1}{2}$ (定義域 $0 \le x$), および直線 $x = 0$ で囲まれた図形を $y$ 軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

回転体の体積を求めるには、円盤法または円筒法を使うことができます。今回は $y$ 軸の周りの回転なので、円筒法を使うのが簡単です。

まず、$y = x^2$ より、$x = \sqrt{y}$ となります。$y = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

円筒法の公式は、$V = \int_a^b 2\pi x f(x) dx$ です。今回は $x = 0$ から $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ まで積分することになります。

$f(x)$ は $y = \frac{1}{2}$ と $y = x^2$ の差なので、$f(x) = \frac{1}{2} - x^2$ です。

したがって、$V = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 2\pi x (\frac{1}{2} - x^2) dx = 2\pi \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} (\frac{1}{2}x - x^3) dx$ となります。

積分を実行します。

$\int (\frac{1}{2}x - x^3) dx = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C$

したがって、$V = 2\pi [\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x^4]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\pi [\frac{1}{4}(\frac{1}{2}) - \frac{1}{4}(\frac{1}{4})] = 2\pi [\frac{1}{8} - \frac{1}{16}] = 2\pi [\frac{2}{16} - \frac{1}{16}] = 2\pi \frac{1}{16} = \frac{\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{8}$