与えられた媒介変数表示された曲線 $(x, y) = (5 \cos t, 5 \sin t)$ (ただし $0 \le t \le 2\pi$) の長さを求め、選択肢から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた媒介変数表示された曲線 $(x, y) = (5 \cos t, 5 \sin t)$ (ただし $0 \le t \le 2\pi$) の長さを求め、選択肢から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、媒介変数表示された曲線 $x = f(t)$, $y = g(t)$ (ただし $a \le t \le b$) に対して、次の式で与えられます。

$L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

まず、$x(t) = 5 \cos t$ と $y(t) = 5 \sin t$ の微分を計算します。

$\frac{dx}{dt} = -5 \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 5 \cos t$

次に、$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ を計算します。

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (-5 \sin t)^2 + (5 \cos t)^2 = 25 \sin^2 t + 25 \cos^2 t = 25(\sin^2 t + \cos^2 t) = 25$

したがって、$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{25} = 5$

最後に、曲線の長さを計算します。

$L = \int_0^{2\pi} 5 dt = 5 \int_0^{2\pi} dt = 5 [t]_0^{2\pi} = 5(2\pi - 0) = 10\pi$

3. 最終的な答え

$10\pi$