不等式 $|a| + 2|b| \geq |a + 2b|$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|a| + 2|b| \geq |a + 2b|$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。

2. 解き方の手順

不等式の証明には、両辺の2乗の差を考える方法が有効です。

まず、両辺が0以上であることから、2乗しても大小関係は変わりません。

したがって、

$(|a|+2|b|)^2 - |a+2b|^2 \geq 0$

を示せばよいことになります。

$(|a|+2|b|)^2$ を展開すると、

$(|a|+2|b|)^2 = |a|^2 + 4|a||b| + 4|b|^2 = a^2 + 4|ab| + 4b^2$

となります。

$|a+2b|^2$ を展開すると、

$|a+2b|^2 = (a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$

となります。

したがって、

$(|a|+2|b|)^2 - |a+2b|^2 = (a^2 + 4|ab| + 4b^2) - (a^2 + 4ab + 4b^2) = 4|ab| - 4ab = 4(|ab| - ab)$

となります。

ここで、$|ab| \geq ab$ であるから、$|ab| - ab \geq 0$ となります。

したがって、

$(|a|+2|b|)^2 - |a+2b|^2 = 4(|ab| - ab) \geq 0$

が成り立ちます。

これにより、

$(|a|+2|b|)^2 \geq |a+2b|^2$

が示されました。

両辺の平方根をとることで、

$|a|+2|b| \geq |a+2b|$

が証明されました。

次に、等号が成り立つ場合を考えます。

等号が成り立つのは、$|ab| - ab = 0$ のとき、つまり、$|ab| = ab$ のときです。

$|ab| = ab$ が成り立つのは、$ab \geq 0$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $|a|+2|b| \geq |a+2b|$ は証明された。

等号が成り立つのは、$ab \geq 0$ のときである。