## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた行列式を計算し、それが与えられた多項式と等しいことを証明する問題です。具体的には、以下の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix}

a & 1 & 0 & 0 \\

b & x & 1 & 0 \\

c & 0 & x & 1 \\

d & 0 & 0 & x

\end{vmatrix}$

そして、この行列式の値が $ax^3 - bx^2 + cx - d$ に等しいことを示します。

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2. 解き方の手順

与えられた行列式を計算します。4x4の行列式なので、余因子展開を用いるのが一般的です。ここでは、第1列に沿って余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix}

a & 1 & 0 & 0 \\

b & x & 1 & 0 \\

c & 0 & x & 1 \\

d & 0 & 0 & x

\end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & x \end{vmatrix} - d \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \end{vmatrix}$

それぞれの3x3の行列式を計算します。

* $\begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{vmatrix} = x \begin{vmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & x \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = x(x^2 - 0) - 1(0 - 0) + 0 = x^3$

* $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & x \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{vmatrix} - 0 + 0 = x^2$

* $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & x \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & x \end{vmatrix} - 0 + 0 = x$

* $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1$

これらの値を元の式に代入します。

$a(x^3) - b(x^2) + c(x) - d(1) = ax^3 - bx^2 + cx - d$

したがって、与えられた行列式の値は $ax^3 - bx^2 + cx - d$ に等しいことが証明されました。

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3. 最終的な答え

$\begin{vmatrix}

a & 1 & 0 & 0 \\

b & x & 1 & 0 \\

c & 0 & x & 1 \\

d & 0 & 0 & x

\end{vmatrix} = ax^3 - bx^2 + cx - d$