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与えられた式 $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式
2025/6/7

1. 問題の内容

与えられた式 x4−7x2y2+y4x^4 - 7x^2y^2 + y^4 を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、x4+2x2y2+y4x^4 + 2x^2y^2 + y^4の形に変形するために、9x2y29x^2y^2を足して引きます。
x4−7x2y2+y4=x4+2x2y2+y4−9x2y2x^4 - 7x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2
ここで、x4+2x2y2+y4=(x2+y2)2x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 なので、
(x2+y2)2−9x2y2(x^2 + y^2)^2 - 9x^2y^2
さらに、9x2y2=(3xy)29x^2y^2 = (3xy)^2 なので、
(x2+y2)2−(3xy)2(x^2 + y^2)^2 - (3xy)^2
これは、A2−B2=(A+B)(A−B)A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)の形なので、
(x2+y2+3xy)(x2+y2−3xy)(x^2 + y^2 + 3xy)(x^2 + y^2 - 3xy)
通常、変数の順番を揃えて書くので、以下のようになります。
(x2+3xy+y2)(x2−3xy+y2)(x^2 + 3xy + y^2)(x^2 - 3xy + y^2)

3. 最終的な答え

(x2+3xy+y2)(x2−3xy+y2)(x^2 + 3xy + y^2)(x^2 - 3xy + y^2)

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