与えられた対数の式を計算します。 式は $\frac{1}{2} \log_5 3 + 3 \log_5 \sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$ です。

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算します。

式は $\frac{1}{2} \log_5 3 + 3 \log_5 \sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$ です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

対数の性質として、以下のものを使います。

$a \log_b x = \log_b x^a$

$\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$

$\log_b x - \log_b y = \log_b (\frac{x}{y})$

$\frac{1}{2} \log_5 3 = \log_5 3^{\frac{1}{2}} = \log_5 \sqrt{3}$

$3 \log_5 \sqrt{2} = \log_5 (\sqrt{2})^3 = \log_5 2\sqrt{2}$

$\log_5 \sqrt{24} = \log_5 \sqrt{4 \cdot 6} = \log_5 2\sqrt{6}$

元の式は、

$\log_5 \sqrt{3} + \log_5 2\sqrt{2} - \log_5 2\sqrt{6}$

$= \log_5 (\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}) - \log_5 2\sqrt{6}$

$= \log_5 (2\sqrt{6}) - \log_5 2\sqrt{6}$

$= \log_5 \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$

$= \log_5 1$

$\log_5 1 = 0$

3. 最終的な答え

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