与えられた数列の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す問題です。数列は2つ与えられています。 (1) -1, 8, -27, 64, ... (2) 1/1, 2/3, 3/5, 4/7, ...

1. 問題の内容

与えられた数列の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す問題です。数列は2つ与えられています。

(1) -1, 8, -27, 64, ...

(2) 1/1, 2/3, 3/5, 4/7, ...

2. 解き方の手順

(1) 数列 -1, 8, -27, 64, ... について考察します。

この数列は、-1 = $(-1)^1 1^3$, 8 = $(-1)^2 2^3$, -27 = $(-1)^3 3^3$, 64 = $(-1)^4 4^3$ と表せることに気づきます。

したがって、一般項 $a_n$ は、$a_n = (-1)^n n^3$ と推測できます。

(2) 数列 1/1, 2/3, 3/5, 4/7, ... について考察します。

分子は 1, 2, 3, 4, ... と変化しているので、分子は $n$ であると推測できます。

分母は 1, 3, 5, 7, ... と変化しているので、これは初項1, 公差2の等差数列です。

この等差数列の一般項は $1 + (n-1)2 = 2n - 1$ となります。

したがって、一般項 $a_n$ は、$a_n = \frac{n}{2n-1}$ と推測できます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = (-1)^n n^3$

(2) $a_n = \frac{n}{2n-1}$