問題は、不定方程式 $30x + 17y = 2$ の整数解を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、不定方程式 $30x + 17y = 2$ の整数解を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、特殊解を見つけます。

$30$ と $17$ の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。

$30 = 17 \times 1 + 13$

$17 = 13 \times 1 + 4$

$13 = 4 \times 3 + 1$

$4 = 1 \times 4 + 0$

よって、$30$ と $17$ の最大公約数は $1$ です。

次に、互除法の式を逆にたどって、$30a + 17b = 1$ を満たす整数 $a, b$ を求めます。

$1 = 13 - 4 \times 3$

$1 = 13 - (17 - 13 \times 1) \times 3$

$1 = 13 - 17 \times 3 + 13 \times 3$

$1 = 13 \times 4 - 17 \times 3$

$1 = (30 - 17 \times 1) \times 4 - 17 \times 3$

$1 = 30 \times 4 - 17 \times 4 - 17 \times 3$

$1 = 30 \times 4 - 17 \times 7$

したがって、$30 \times 4 + 17 \times (-7) = 1$ です。

両辺を $2$ 倍すると、$30 \times 8 + 17 \times (-14) = 2$ となります。

よって、$x = 8, y = -14$ は特殊解の一つです。

次に、一般解を求めます。

$30x + 17y = 2$

$30 \times 8 + 17 \times (-14) = 2$

辺々引くと、$30(x - 8) + 17(y + 14) = 0$

$30(x - 8) = -17(y + 14)$

$30$ と $17$ は互いに素なので、$x - 8$ は $17$ の倍数、$y + 14$ は $30$ の倍数となります。

したがって、$x - 8 = 17k, y + 14 = -30k$ ($k$ は整数) と書けます。

$x = 17k + 8, y = -30k - 14$

3. 最終的な答え

$x = 17k + 8$

$y = -30k - 14$ ($k$ は整数)