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与えられた関数の、$x$ が $-1$ に近づくときの極限を求めます。関数は $\frac{-x^2+1}{x+1}$ です。

解析学極限因数分解関数の極限
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた関数の、xx が −1-1 に近づくときの極限を求めます。関数は −x2+1x+1\frac{-x^2+1}{x+1} です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を因数分解して簡略化します。
分子 −x2+1-x^2+1 は 1−x21-x^2 と書き換えることができ、これは (1−x)(1+x)(1-x)(1+x) と因数分解できます。
したがって、関数は次のようになります。
−x2+1x+1=1−x2x+1=(1−x)(1+x)x+1\frac{-x^2+1}{x+1} = \frac{1-x^2}{x+1} = \frac{(1-x)(1+x)}{x+1}
ここで、x≠−1x \ne -1 のとき、x+1x+1 で約分できます。
(1−x)(1+x)x+1=1−x\frac{(1-x)(1+x)}{x+1} = 1-x
次に、xx が −1-1 に近づくときの 1−x1-x の極限を求めます。
lim⁡x→−1(1−x)=1−(−1)=1+1=2\lim_{x \to -1} (1-x) = 1 - (-1) = 1+1 = 2

3. 最終的な答え

lim⁡x→−1−x2+1x+1=2\lim_{x \to -1} \frac{-x^2+1}{x+1} = 2

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