与えられた積分の問題を解きます。問題は不定積分 $ \int \frac{1}{x(x-1)}dx $ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。問題は不定積分 $\int \frac{1}{x(x-1)}dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算します。

まず、積分対象の関数を部分分数に分解します。

$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$ と仮定します。

両辺に $x(x-1)$ をかけると、

$1 = A(x-1) + Bx$

となります。

$x = 0$ を代入すると、$1 = A(0-1) + B(0)$となり、$A = -1$が得られます。

$x = 1$ を代入すると、$1 = A(1-1) + B(1)$となり、$B = 1$が得られます。

したがって、

$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1}$

となります。

積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{x(x-1)}dx = \int (\frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1})dx$

積分を分けます。

$= -\int \frac{1}{x}dx + \int \frac{1}{x-1}dx$

それぞれの積分を計算します。

$= -ln|x| + ln|x-1| + C$

対数の性質を用いてまとめます。

$= ln|\frac{x-1}{x}| + C$

3. 最終的な答え

$ln|\frac{x-1}{x}| + C$