関数 $y = x + \sin 2x$ ($0 \le x \le \pi$) の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、グラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x + \sin 2x$ ($0 \le x \le \pi$) の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、グラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $y = x + \sin 2x$ を微分します。

$y' = 1 + 2\cos 2x$

(2) $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 + 2\cos 2x = 0$

$\cos 2x = -\frac{1}{2}$

$0 \le x \le \pi$ より $0 \le 2x \le 2\pi$ なので、

$2x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(3) さらに微分して、$y''$ を求めます。

$y'' = -4\sin 2x$

(4) $y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-4\sin 2x = 0$

$\sin 2x = 0$

$0 \le x \le \pi$ より $0 \le 2x \le 2\pi$ なので、

$2x = 0, \pi, 2\pi$

$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$

(5) 増減表を書きます。

| x | 0 | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\pi$ |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |

| y'' | 0 | -2$\sqrt{3}$ | 0 | 2$\sqrt{3}$ | 0 |

| y | 0 | $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\pi$ |

| 増減 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

| 凹凸 | 変曲点 | 凸 | 変曲点 | 凹 | 変曲点 |

(6) 増減表より、

極大値：$x = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

極小値：$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき $y = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

変曲点：$(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $(\pi, \pi)$

(7) グラフの概形を描きます。（省略）

3. 最終的な答え

極大値：$x = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

極小値：$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき $y = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

変曲点：$(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $(\pi, \pi)$

グラフの概形：（省略）