与えられた二次関数 $y = x^2 + 4x + 3$ と $x$軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。積分範囲は、$x^2 + 4x + 3 = 0$ を満たす $x$ の値から求められます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = x^2 + 4x + 3$ と $x$軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。積分範囲は、$x^2 + 4x + 3 = 0$ を満たす $x$ の値から求められます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 4x + 3 = 0$ を解きます。

$(x+1)(x+3) = 0$ より、$x = -1, -3$ です。したがって、積分範囲は $-3$ から $-1$ になります。

次に、定積分を計算します。

$S = \int_{-3}^{-1} (x^2 + 4x + 3) dx$

$S = [\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x]_{-3}^{-1}$

$S = (\frac{1}{3}(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1)) - (\frac{1}{3}(-3)^3 + 2(-3)^2 + 3(-3))$

$S = (-\frac{1}{3} + 2 - 3) - (-9 + 18 - 9)$

$S = (-\frac{1}{3} - 1) - (0)$

$S = -\frac{4}{3}$

面積は負の値を取らないので、絶対値を取ります。また、$x$軸より下の部分の面積を求めるので、負の符号を考慮すると、$x^2 + 4x + 3$に負の符号をつけて積分する必要があります。

$S = -\int_{-3}^{-1} (x^2 + 4x + 3) dx$

$S = -[\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x]_{-3}^{-1}$

$S = -\{ (\frac{1}{3}(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1)) - (\frac{1}{3}(-3)^3 + 2(-3)^2 + 3(-3)) \}$

$S = -\{ (-\frac{1}{3} + 2 - 3) - (-9 + 18 - 9) \}$

$S = -\{ -\frac{4}{3} - 0 \}$

$S = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$